Lilla Anna och långa farbrorn

Om man mäter ett litet barn i 3-4-årsåldern med måttband kanske det visar sig att barnet är 100 cm långt. Vi mäter också en riktigt lång man som visar sig vara 200 centimeter lång. Vi är nog alla då överens om att mannen är dubbelt så lång som barnet. Men är barnet dubbelt så kort som mannen?

Den här typen av formuleringar är ganska vanliga, inte minst i press, radio och tv. Det kan också hända att de förekommer i dagligt tal. Man säger att 10 personer är tre gånger så få som (eller färre än) 30 personer. Eller att en vara som kostar 5 kronor är fyra gånger så billig som den vara som kostar 20 kronor.

Låt oss gå tillbaka till det första exemplet. Säg att vi av någon outgrundlig anledning har klippt bort de första tio centimetrarna på måttbandet. Barnet ser nu ut att vara 110 cm långt och långa farbrorn tycks vara 210 cm lång. Skillnaden mellan dem är fortfarande 100 cm (210 cm – 110 cm). Däremot är det förstås fel att säga att långa farbrorn är 1,9 gånger längre än lilla Anna (210/110 = 1,90909). Långa farbrorn är fortfarande dubbelt så lång som lilla Anna så som vi räknade ut med det felfria måttbandet (200/100 = 2).

Hur kan det här komma sig? Förklaringen är att i mätningarna av längd med det intakta måttbandet så finns det ett åtminstone i teorin tänkbart mätvärde som heter noll, och när man har mätvärdet noll så har man precis ingenting av den egenskap som skulle mätas. Med det skadade måttbandet finns ju inte mätvärdet noll över huvud taget.

Man kan också tänka sig skalor som ger ett mätvärde ”noll” men där noll betyder något annat än att det inte finns något alls av den uppmätta egenskapen. Celsiustermometern för mätning av temperatur är ett sådant mätinstrument. När det är noll grader Celsius saknas inte temperatur. Därför är inte tio grader dubbelt så varmt som fem grader. Enklast inser man det om man istället mäter med grader Fahrenheit, som har en annan nollpunkt än Celsiusskalan. När det är 5^oC visar Fahrenheittermometern 41 grader och när det är 10^oC så visar Fahrenheit 50^oC.

Om man (felaktigt) dividerar Celsisutemperaturerna med varandra skulle man tro att 10 grader är dubbelt så varmt som 5 grader. Samma operation med Fahrenheittemperaturerna (som ju mäter samma temperatur som Celsisustemperaturerna) kunde få oss att tro att det har blivit 1,22 gånger så varmt som det var förut.

Av de här resonemangen kan man dra slutsatsen att det är rimligt att säga att X (t ex långa farbron) är X/Y gånger så Z (lång) som Y (lilla Anna) bara om det finns ett mätvärde 0, där det inte finns någonting av Z (längd). I statistiken brukar man tala om sådana här mätskalor som kvotskalor till skillnad från det skadade måttbandet och de båda termometerskalorna som intervallskalor.

Nu ska vi försöka tillämpa samma resonemang på uttryck som ”X gånger så kort”, ”Y gånger så liten”, ”Z gånger så billig” och ”S gånger så få”. Vi har alldeles nyss konstaterat att om det ska vara meningsfullt med sådana här uttryck måste det finnas att mätvärde noll där den uppmätta egenskapen helt saknas. Man kan (förgäves) ställa frågan om vad det innebär att det inte finns någon korthet, litenhet, billighet, fåhet. Det skulle väl i så fall avse dessa egenskapers motsatser: lång, stor, dyr och många. Men nu är mätskalan ju inte konstruerad så, att det heter noll för lång, stor, dyr och många. Uttryckssättet ”Lilla Anna är dubbelt så kort som långa farbrorn” blir med andra ord ett slags nonsens.

Däremot kan man förstås komma fram till ett korrekt sätt att uttrycka sig genom att dividera deras längder med varandra. Vi gjorde ju det när vi konstaterade att långa farbrorn var dubbelt så lång (200/100) som lilla Anna. På samma sätt är lilla Anna (100/200=1/2) hälften så lång som långa farbrorn.

Om du vill slippa dumstämpel säg alltså:

• Inte dubbelt så kort utan hälften så lång
• Inte tre gånger så få utan en tredjedel så många
• Inte fyra gånger så billigt utan en fjärdedel så dyrt